Takvi ponavljajući uzorci u prirodi nazivaju se fraktali. Oni su jedan od najzanimljivijih matematičkih koncepata 20. stoljeća, a posebno ih je proučavao matematičar Benoît Mandelbrot, po kojem je nazvan i poznati Mandelbrotov skup.

Posebnost fraktala krije se u tome što mali dio izgleda vrlo slično cijeloj strukturi. Drugim riječima, isti se oblik stalno ponavlja, samo u različitim veličinama.

Fraktali nam pomažu razumjeti složenost prirode te pokazuju da se čak i u naizgled nepravilnim oblicima kriju određeni red i matematička ljepota.

Mandelbrotov skup

Benoît Mandelbrot istraživao je pomoću računala jednostavnu formulu i otkrio Mandelbrotov skup, objekt koji je beskonačno složen, pun detalja i vizualno zadivljujući. Svaka mala kopija skupa podsjeća na cijeli skup, što nazivamo svojstvo samosličnosti. Bez obzira na to koliko ga uvećavamo, pojavljuju se novi oblici samoslični početnom skupu. On nastaje iz vrlo jednostavne matematičke jednadžbe u skupu kompleksnih brojeva z_(n+1)=〖z_n〗^2+c.

Zašto nas to zanima?

Fraktali i Mandelbrotov skup nisu samo lijepa slika. Oni se primjenjuju u stvarnom životu u računalnoj grafici u prikazu realističnih pejzaža te oblaka u filmovima i videoigrama. Nalazimo ih u medicini promatrajući krvne žile i pluća. Nadalje, vidimo ih i u telekomunikaciji u dizajnu antena koje rade na više frekvencija.

Projekt e-Twinning „Matematika i nada”

U sklopu projekta e-Twinning „Matematika i nada” jedna od aktivnosti za učenike bilo je istraživanje Mandelbrotova skupa. Koristeći se programom za generiranje Mandelbrotova skupa, učenici su prepoznavali njegove dijelove i jednostavne konstrukcije.

Istraživanje Mandelbrotova skupa i matematičkog svijeta fraktala

Uvećavanjem oblika uočavali su najmanje detalje na grafici i ponavljajuće samooblike.

Birajući boje prema broju iteracija i označavajući željene granice fraktala, stvarali su prelijepe oblike Mandelbrotova skupa. Učenici su tako razvijali prostornu percepciju i logičko razmišljanje te su istraživali matematički svijet fraktala. Zamijetili su kako se unutar velikog skupa pojavljuju male kopije cijelog oblika, a na rubovima skupa spiralni oblici, zatim su – mijenjajući boje, brojeve iteracija te uvećavajući i smanjujući područje skupa – pronalazili u njemu razne stvari koje ih okružuju.

Učenici na taj način razvijaju prostornu percepciju i logičko razmišljanje

Što možemo zaključiti?

Mandelbrotov skup pokazuje da složenost prirode može nastati iz jednostavnih pravila.

Sljedeći put kada pogledate obalu, krošnju stabla ili brokulu, možda upravo gledate matematiku koja oblikuje prirodu oko nas. Fraktali nas uče da naizgled kaotični oblici skrivaju red, ponavljanje i beskonačnu ljepotu.