MAT OŠ B.1.1, MAT OŠ A.1.2, MAT OŠ A.1.4 , MAT OŠ B.2.2, MAT OŠ B.3.1, MAT OŠ B.4.1

U razrednoj se nastavi, uz poticanje korištenja materinskog jezika te uz učenje stranog jezika, na nastavi matematike uči još jedan „novi jezik”, a to je jezik matematike – u govoru i pisanim putem. Učenici se potiču na izražavanje o matematičkim idejama, na postavljanje pitanja i na promišljanje o svojim ili tuđim rješenjima. Također se uče nove stručne riječi poput pribrojnika, zbroja, razlike, vrha, brida, piramide i sl. Jezik matematike obuhvaća i pravilno zapisivanje brojevnih riječi (npr. jedanaest), pravilno zapisivanje brojeva brojkama, odnosa među brojevima i sl.

Jedan od osnovnih pojmova u matematičkom jeziku svakako je jednakost. U tradicionalnoj nastavi matematike prevelik se naglasak stavlja samo na računanje, dok se često ostali elementi matematičkog jezika zanemaruju (primjerice, koja je razlika između izraza i jednakosti, na koje sve način možemo prikazati i opisati jednakost i sl.).

• Učenik treba opisati da se jednakost sastoji od triju dijelova: znaka = (jednako), lijeve strane jednakosti i desne strane jednakosti. Isto vrijedi i za nejednakost.
• Učenik treba opisati da se na lijevoj strani jednakosti može nalaziti broj ili izraz. Primjerice, u jednakosti 2 + 3 = 5 na desnoj strani jednakosti nalazi se broj 5, a na lijevoj strani jednakosti nalazi se izraz (račun) 2 + 3. Isto vrijedi i za nejednakost.
• Učenik zapisuje jednakost na dva načina: tako da zamijeni mjesta na njezinoj lijevoj i desnoj strani. Primjerice, 2 + 3 = 5 može se zapisati i kao 5 = 2 + 3.

• Učenik treba opisati da se jednakost sastoji od triju dijelova: znaka = (jednako), lijeve strane jednakosti i desne strane jednakosti.
• Učenik treba opisati razliku između jednakosti i brojevnog izraza. Jednakost se sastoji od dvaju brojevnihizraza, svakog na jednoj strani jednakosti. Ti brojevni izrazi mogu biti složeni, npr. 5 + (7 + 3) = (5 + 7) + 3.
• Učenik zapisuje jednakost na dva načina: tako da zamijeni mjesta na njezinoj lijevoj i desnoj strani. Primjerice, 20 + 35 = 55 može se zapisati i kao 55 = 20 + 35.

• Učenik treba opisati da se jednakost sastoji od triju dijelova: znaka = (jednako), lijeve strane jednakosti i desne strane jednakosti.
• Učenik treba opisati razliku između jednakosti i brojevnog izraza. Jednakost se sastoji od dvaju brojevnih izraza, svakog na jednoj strani jednakosti. Ti brojevni izrazi mogu biti složeni, npr. 5 + (7 + 3) = (5 + 7) + 3.
• Učenik zapisuje jednakost na dva načina: tako da zamijeni mjesta na njezinoj lijevoj i desnoj strani. Primjerice, 20 + 35 = 55 može se zapisati i kao 55 = 20 + 35.

Metodički gledano, pojam jednakosti učenicima se približava različitim konkretnim modelima. Najčešći su:

• model vage
• model duljine
• model količine

Ti se modeli mogu koristiti pri usvajanju brojeva do 10 i do 20 u prvom razredu osnovne škole, kao i pri zbrajanju i oduzimanju s njima. U nastavku slijede opisi svakog od spomenutih modela jednakosti po razredima.

1.RAZRED

1. Model vage 

Zapis jednakosti poistovjetit će sa zaključkom „vaga je u ravnoteži”, a zapis nejednakosti s „vaga nije u ravnoteži”. Pritom nije nužno korištenje skupih vaga jer učitelj i učenici mogu sami izraditi dvokrake vage od vješalica ili tzv. vage klackalice.

Takve vage zatim se uspješno koriste i za prikazivanje zbrajanja i oduzimanja do 20. 

Pritom je važno da učenici sami isprobavaju i istražuju svojstva jednakosti pomoću konkretnog iskustva s vagom. Te će aktivnosti uključiti i poticanje strpljivosti i korištenja fine motorike kao važnih faktora razvoja djeteta. 

2. Model duljine 

Model duljine odnosi se na vizualno uspoređivanje dviju ili više količina tako da su se traženi predmeti poredali u retke ili stupce. Na taj ih je način lako vizualno usporediti i odrediti u kojem skupu ima više ili manje elemenata, ili ih ima jednako. 

Opisani model također označava predradnju za kasnije rješavanje jednadžbi. Primjerice: Koliko kuglica trebam dodati da ih bude jednako u oba retka? 10 = 3 + ___ ili 3 + ___ = 10 

3. Model količine 

Model količine odnosi se na uspoređivanje broja elemenata dvaju skupova prebrojavanjem. 

To je kognitivno složeniji model od modela duljine. Naime, kod modela duljine vizualno je vrlo uočljivo u kojem je stupcu ili retku više, manje ili jednako elemenata. Kod modela količine to nije vizualno jasno, već se usporedba radi prebrojavanjem i zatim se zapisuje jednakost ili nejednakost. Zato se taj model radi s učenicima nakon iskustva i aktivnosti s modelom vage i modelom duljine. 

Autorice udžbenika Otkrivamo matematiku, radeći na udžbeniku i zadatcima, imale su na umu važnost pojma jednakosti u matematičkom obrazovanju učenika. Posebna je pozornost stoga pridana uvođenju pojma jednakosti i nejednakosti u prvom razredu, uz konkretne aktivnosti i zadatke koji obuhvaćaju sva tri spomenuta modela. Na taj način učenik dobiva mogućnost cjelovitog pristupa ovom važnom pojmu. Primjerice: 

Na opisani način ostvaruju se ishodi:

• MAT OŠ A.1.4 i MAT OŠ B.1.1 – jer učenik zapisuje računske radnje matematičkim zapisom te određuje nepoznati broj u jednakosti (npr. 10 + __ = 12)
• MAT OŠ A.1.2 – jer učenik uspoređuje brojeve i zapisuje to jednakošću ili nejednakošću.

2.RAZRED

1. Model vage 

Iako današnji učenici u svojoj okolini sve češće imaju priliku vidjeti mjerenje digitalnim vagama, od velike je vrijednosti da iskuse i uspoređivanje brojeva (količina) tradicionalnim dvokrakim vagama. Tako će zorno iskusiti pojmove jednakosti i nejednakosti. 

Zapis jednakosti poistovjetit će sa zaključkom „vaga je u ravnoteži”, a zapis nejednakosti s „vaga nije u ravnoteži”. Pritom nije nužno korištenje skupih vaga jer učitelj i učenici mogu sami izraditi dvokrake vage od vješalica ili tzv. vage klackalice. 

Takve vage zatim se uspješno koriste i za prikazivanje zbrajanja i oduzimanja. 

Pritom je važno da učenici sami isprobavaju i istražuju svojstva jednakosti pomoću konkretnog iskustva s vagom. Te će aktivnosti uključiti i poticanje strpljivosti i korištenja fine motorike kao važnih faktora razvoja djeteta. 

2. Model duljine

Model duljine odnosi se na vizualno uspoređivanje dviju ili više količina tako da su se traženi predmeti poredali u retke ili stupce. Na taj ih je način lako vizualno usporediti i odrediti u kojem skupu ima više ili manje elemenata, ili ih ima jednako. 

Opisani model također označava predradnju za kasnije rješavanje jednadžbi. Primjerice: Koliko kutija jaja trebam dodati da ih bude jednako u oba stupca? 40 = 30 + ___ ili 30 + ___ = 40.

3. Model količine 

Model količine odnosi se na uspoređivanje broja elemenata dvaju skupova prebrojavanjem. 

To je kognitivno složeniji model od modela duljine. Naime, kod modela duljine vizualno je vrlo uočljivo u kojem je stupcu ili retku više, manje ili jednako elemenata. Kod modela količine to nije vizualno jasno, već se usporedba radi prebrojavanjem i zatim se zapisuje jednakost ili nejednakost. Zato se taj model radi s učenicima nakon iskustva i aktivnosti s modelom vage i modelom duljine. 

Autorice udžbenika Otkrivamo matematiku, radeći na udžbeniku i zadatcima, imale su na umu važnost pojma jednakosti u matematičkom obrazovanju učenika. Lekcija „Lijeva i desna strana jednakosti“ (Udžbenik, 1. dio, str. 66) posvećena je nekim važnim svojstvima jednakosti, npr. ako se jedan od pribrojnika uveća za 1, i zbroj će se uvećati za 1. Još jedno važno svojstvo jednakosti jest i stalnost razlike. 

Udžbenik, 1.dio, str. 66, zad. 1.

Osim toga u udžbeniku Otkrivamo matematiku 2 posebna je pozornost posvećena složenim izrazima, poput izraza sa zagradama. Oni čine važne dijelove jednakosti u računskim zadatcima. 

Na opisani način ostvaruje se ishod:

• MAT OŠ B.2.2. – jer učenik računske radnje zapisuje matematičkim zapisom, računa izraze u jednakostima te određuje nepoznati broj u jednakosti.

3. RAZRED

1. Model vage 

Iako današnji učenici u svojoj okolini sve češće imaju priliku vidjeti mjerenje digitalnim vagama, od velike je vrijednosti da iskuse i uspoređivanje brojeva (količina) tradicionalnim dvokrakim vagama. Tako će zorno iskusiti pojmove jednakosti i nejednakosti. 

Zapis jednakosti poistovjetit će sa zaključkom „vaga je u ravnoteži”, a zapis nejednakosti s „vaga nije u ravnoteži”. Pritom nije nužno korištenje skupih vaga jer učitelj i učenici mogu sami izraditi dvokrake vage od vješalica ili tzv. vage klackalice. 

Takve vage zatim se uspješno koriste i za prikazivanje zbrajanja i oduzimanja te čine važan početak u rješavanju jednadžbi. 

Pritom je važno da učenici sami isprobavaju i istražuju svojstva jednakosti pomoću konkretnog iskustva s vagom. Te će aktivnosti uključiti i poticanje strpljivosti i korištenja fine motorike kao važnih faktora razvoja djeteta. 

2. Model duljine 

Model duljine odnosi se na vizualno uspoređivanje dviju ili više količina tako da su se traženi predmeti poredali u retke ili stupce. Na taj ih je način lako vizualno usporediti i odrediti u kojem skupu ima više ili manje elemenata, ili ih ima jednako. 

Opisani model također označava predradnju za kasnije rješavanje jednadžbi. Primjerice: Koliko kutija jaja trebam dodati da ih bude jednako u oba stupca? 40 = 30 + ___ ili 30 + ___ = 40.

3. Model količine 

Model količine odnosi se na uspoređivanje broja elemenata dvaju skupova prebrojavanjem. 

To je kognitivno složeniji model od modela duljine. Naime, kod modela duljine vizualno je vrlo uočljivo u kojem je stupcu ili retku više, manje ili jednako elemenata. Kod modela količine to nije vizualno jasno, već se usporedba radi prebrojavanjem i zatim se zapisuje jednakost ili nejednakost. Zato se taj model radi s učenicima nakon iskustva i aktivnosti s modelom vage i modelom duljine. 

Autorice udžbenika Otkrivamo matematiku, radeći na udžbeniku i zadatcima, imale su na umu važnost pojma jednakosti u matematičkom obrazovanju učenika. Poseban naglasak u 3. razredu stavljen je na jednadžbe i uvođenje slova kao nepoznanice u jednakosti. Također je velika pozornost posvećena rješavanju jednadžbi pomoću veze zbrajanja i oduzimanja, kao i veze množenja i dijeljenja.

Udžbenik, 1. dio, str. 74, zad 1.

• Prikaz prelaska s „kućica” na nepoznanice označava prelazak na apstraktniju razinu u zapisu i korak je naprijed prema algebarskom prikazu i rješavanju jednadžbi prisutnom u predmetnoj nastavi. Zato je važno pozorno i temeljito obraditi te usvojiti pojmove jednakosti, izraza i nepoznatog broja u 3. razredu.

Osim toga u udžbeniku Otkrivamo matematiku 3 posebna je pozornost posvećena složenim izrazima, poput izraza sa zagradama. Oni čine važne dijelove jednakosti u računskim zadatcima. 

Na opisani način ostvaruje se ishod:

• MAT OŠ B.3.1. – jer učenik određuje vrijednost nepoznatoga člana jednakosti (prikazanog slovom) uz primjenjivanje svojstava računskih radnji i veza među njima.

4. RAZRED

1. Model vage 

Iako današnji učenici u svojoj okolini sve češće imaju priliku vidjeti mjerenje digitalnim vagama, od velike je vrijednosti da iskuse i uspoređivanje brojeva (količina) tradicionalnim dvokrakim vagama. Tako će zorno iskusiti pojmove jednakosti i nejednakosti. 

Zapis jednakosti poistovjetit će sa zaključkom „vaga je u ravnoteži”, a zapis nejednakosti s „vaga nije u ravnoteži”. Pritom nije nužno korištenje skupih vaga jer učitelj i učenici mogu sami izraditi dvokrake vage od vješalica ili tzv. vage klackalice. 

Takve vage zatim se uspješno koriste i za prikazivanje zbrajanja i oduzimanja te čine važan početak u rješavanju jednadžbi. 

Pritom je važno da učenici sami isprobavaju i istražuju svojstva jednakosti pomoću konkretnog iskustva s vagom. Te će aktivnosti uključiti i poticanje strpljivosti i korištenja fine motorike kao važnih faktora razvoja djeteta. 

2. Model duljine 

Model duljine odnosi se na vizualno uspoređivanje dviju ili više količina tako da su se traženi predmeti poredali u retke ili stupce. Na taj ih je način lako vizualno usporediti i odrediti u kojem skupu ima više ili manje elemenata, ili ih ima jednako.

Opisani model također označava predradnju za kasnije rješavanje jednadžbi. Primjerice: Koliko kutija jaja trebam dodati da ih bude jednako u oba stupca? 40 = 30 + ___ ili 30 + ___ = 40. 

3. Model količine 

Model količine odnosi se na uspoređivanje broja elemenata dvaju skupova prebrojavanjem. 

To je kognitivno složeniji model od modela duljine. Naime, kod modela duljine vizualno je vrlo uočljivo u kojem je stupcu ili retku više, manje ili jednako elemenata. Kod modela količine to nije vizualno jasno, već se usporedba radi prebrojavanjem i zatim se zapisuje jednakost ili nejednakost. Zato se taj model radi s učenicima nakon iskustva i aktivnosti s modelom vage i modelom duljine. 

Autorice udžbenika Otkrivamo matematiku, radeći na udžbeniku i zadatcima, imale su na umu važnost pojma jednakosti u matematičkom obrazovanju učenika. Poseban naglasak u 3. i 4. razredu stavljen je na jednadžbe i uvođenje slova kao nepoznanice u jednakosti. Također je velika pozornost posvećena rješavanju jednadžbi pomoću veze zbrajanja i oduzimanja, kao i veze množenja i dijeljenja. 

Udžbenik, 1.dio, str. 71, zad 6.

• Prikaz prelaska s „kućica” na nepoznanice označava prelazak na apstraktniju razinu u zapisu i korak je naprijed prema algebarskom prikazu i rješavanju jednadžbi prisutnom u predmetnoj nastavi. Zato je važno pozorno i temeljito obraditi te usvojiti pojmove jednakosti, izraza i nepoznatog broja u 3. i 4. razredu.

Na opisani način ostvaruje se ishod:

• MAT OŠ B.4.1. – jer učenik razlikuje jednakosti i nejednakosti te određuje vrijednost nepoznatoga člana jednakosti uz primjenjivanje svojstava računskih radnji i veza među njima.

Vaš autorski tim